Conjecture de Hodge

En mathématiques, la conjecture de Hodge est une des grandes conjectures de la géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d'un résultat du mathématicien W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham afin d'y inclure des structures présentes dans le cas des variétés algébriques (qui peuvent s'étendre à d'autres cas). Cette conjecture a reçu peu d'attention avant que Hodge ne la présente dans un discours prononcé lors du Congrès international des mathématiciens de 1950, qui s'est tenu à Cambridge dans le Massachusetts. La conjecture de Hodge est l'un des problèmes du prix du millénaire de l'Institut de mathématiques Clay. Cette conjecture a notamment été étudiée par Pierre Deligne et Claire Voisin.

Cette conjecture peut s'énoncer ainsi : il est possible de calculer la cohomologie d'une variété algébrique projective complexe à partir de ses sous-variétés. Moralement, la conjecture de Hodge affirme que certaines informations topologiques telles que le « nombre de trous » de certains espaces, les variétés algébriques complexes, peuvent être comprises en étudiant certains sous-espaces au sein de ces espaces, donnés par les zéros d'une fonction polynomiale. Ces derniers objets peuvent être étudiés à l'aide de l'algèbre et du calcul des fonctions analytiques, ce qui permet de comprendre indirectement la forme et la structure générales d'espaces souvent de dimension supérieure qui ne peuvent être facilement visualisés autrement.